حل تمرین صفحه 151 ریاضی یازدهم سوال 1 تا4

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۵۱ - تمرین ۱ برای بررسی **استقلال** دو پیشامد، باید بررسی کنیم که آیا تساوی $P(X \cap Y) = P(X) \times P(Y)$ برقرار است یا خیر. ابتدا فضای نمونه‌ای پرتاب تاس را می‌نویسیم: $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\} \Rightarrow n(S) = 6$ حالا اعضا و احتمال هر پیشامد را مشخص می‌کنیم: $A = \{2, 4, 6\} \Rightarrow P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ $B = \{3, 6\} \Rightarrow P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$ $C = \{3, 4, 5, 6\} \Rightarrow P(C) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ **بررسی استقلال $A$ و $B$:** اشتراک آن‌ها عدد $6$ است، پس $P(A \cap B) = \frac{1}{6}$. حاصل‌ضرب احتمالات: $P(A) \times P(B) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$. چون $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$، پس دو پیشامد $A$ و $B$ **مستقل** هستند. **بررسی استقلال $A$ و $C$:** اشتراک آن‌ها $4, 6$ است، پس $P(A \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. حاصل‌ضرب احتمالات: $P(A) \times P(C) = \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$. چون $\frac{1}{3} = \frac{1}{3}$، پس دو پیشامد $A$ و $C$ نیز **مستقل** هستند. **بررسی استقلال $B$ و $C$:** اشتراک آن‌ها $3, 6$ است، پس $P(B \cap C) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$. حاصل‌ضرب احتمالات: $P(B) \times P(C) = \frac{1}{3} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{9}$. چون $\frac{1}{3} \neq \frac{2}{9}$، پس دو پیشامد $B$ و $C$ **وابسته (غیرمستقل)** هستند.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۵۱ - تمرین ۲ این سوال به مفهوم **احتمال شرطی** و همچنین مفهوم **استقلال در پرتاب‌های متوالی** اشاره دارد. بیایید مسئله را به دو روش حل کنیم: **روش اول (مفهومی):** در پرتاب‌های متوالی سکه یا تاس، نتیجه هر پرتاب هیچ تاثیری بر پرتاب‌های بعدی ندارد. به عبارتی، هر پرتاب یک **آزمایش مستقل** است. بنابراین اینکه در دو پرتاب اول چه اتفاقی افتاده است، هیچ تاثیری بر احتمال «رو» آمدن در پرتاب سوم ندارد. احتمال رو آمدن در هر پرتاب سکه همواره **$\frac{1}{2}$** است. **روش دوم (فرمول احتمال شرطی):** فرض کنید پیشامد $A$ رو آمدن سکه سوم و پیشامد $B$ پشت آمدن در دو پرتاب اول باشد. $S = \{(R,R,R), (R,R,P), ..., (P,P,P)\} \Rightarrow n(S) = 8$ $B = \{(P,P,R), (P,P,P)\} \Rightarrow P(B) = \frac{2}{8}$ $A \cap B = \{(P,P,R)\} \Rightarrow P(A \cap B) = \frac{1}{8}$ فرمول احتمال شرطی: $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/8}{2/8} = \frac{1}{2}$. **نتیجه‌گیری:** احتمال مورد نظر برابر با **$\frac{1}{2}$** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۵۱ - تمرین ۳ این یک تمرین اثباتی برای نشان دادن این است که اگر دو پیشامد مستقل باشند، **متمم‌های** آن‌ها نیز با هم و با خودشان مستقل هستند. **الف) اثبات استقلال $A'$ و $B$:** باید ثابت کنیم $P(A' \cap B) = P(A') \times P(B)$. می‌دانیم که $B = (A \cap B) \cup (A' \cap B)$ و این دو مجموعه از هم جدا هستند. پس $P(B) = P(A \cap B) + P(A' \cap B)$. با توجه به مستقل بودن $A$ و $B$ داریم: $P(A \cap B) = P(A)P(B)$. بنابراین: $P(A' \cap B) = P(B) - P(A)P(B) = P(B) 1 - P$. از آنجا که $1 - P(A) = P(A')$ است، پس: $P(A' \cap B) = P(B)P(A')$ این یعنی $A'$ و $B$ **مستقل** هستند. **ب) اثبات استقلال $A'$ و $B'$:** بر اساس نتیجه بخش (الف)، اگر جای $A$ و $B$ را عوض کنیم، ثابت می‌شود که $A$ و $B'$ نیز مستقل‌اند. حالا اگر دوباره از نتیجه بخش (الف) استفاده کنیم و پیشامد $B'$ را به جای $B$ در نظر بگیریم، چون $B'$ با $A$ مستقل است، پس متمم $A$ (یعنی $A'$) نیز با $B'$ مستقل خواهد بود. به عبارت ساده‌تر، چون متمم هر پیشامد با پیشامد مستقل دیگر، مستقل است، پس $A'$ با $B'$ **مستقل** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۵۱ - تمرین ۴ فرض می‌کنیم انتخاب در تیم کوهنوردی ($A$) و تیم فوتبال ($B$) دو پیشامد **مستقل** باشند. $P(A) = 0.7 \Rightarrow P(A') = 0.3$ $P(B) = 0.8 \Rightarrow P(B') = 0.2$ **الف) انتخاب در هر دو تیم:** به دلیل استقلال، احتمال اشتراک برابر است با حاصل‌ضرب احتمالات: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.7 \times 0.8 = \mathbf{0.56}$ **ب) انتخاب در هیچ‌کدام:** یعنی در کوهنوردی انتخاب نشود (متمم $A$) و در فوتبال هم انتخاب نشود (متمم $B$): $P(A' \cap B') = P(A') \times P(B') = 0.3 \times 0.2 = \mathbf{0.06}$ **پ) فقط در تیم ملی فوتبال:** یعنی در فوتبال انتخاب شود ($B$) ولی در کوهنوردی انتخاب نشود ($A'$): $P(B \cap A') = P(B) \times P(A') = 0.8 \times 0.3 = \mathbf{0.24}$ **ت) فقط در یکی از تیم‌ها:** یعنی (فقط کوهنوردی) یا (فقط فوتبال): $(P(A) \times P(B')) + (P(B) \times P(A')) = (0.7 \times 0.2) + (0.8 \times 0.3) = 0.14 + 0.24 = \mathbf{0.38}$ **ث) حداقل در یکی از تیم‌ها:** این معادل پیشامد **اجتماع** است: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) = 0.7 + 0.8 - 0.56 = \mathbf{0.94}$ (یا از طریق متمم: $1 - P(\text{هیچ‌کدام}) = 1 - 0.06 = 0.94$)

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۵۱ - تمرین ۵ این مسئله با استفاده از فرمول **اجتماع دو پیشامد مستقل** حل می‌شود. **گام اول: متغیرگذاری** فرض کنید احتمال قبولی دوست رؤیا $x$ باشد، پس احتمال قبولی رؤیا $2x$ است. $P(B) = x$ (دوست رؤیا) $P(A) = 2x$ (رؤیا) **گام دوم: استفاده از فرمول اجتماع** در مسائل آموزشی، فرض بر این است که قبولی این دو نفر از هم **مستقل** است. $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ $0.625 = 2x + x - (2x \cdot x)$ $0.625 = 3x - 2x^2$ **گام سوم: حل معادله درجه دوم** $2x^2 - 3x + 0.625 = 0$ برای سادگی ضرب در ۸ می‌کنیم: $16x^2 - 24x + 5 = 0$ با استفاده از فرمول دلتا: $\Delta = (-24)^2 - 4(16)(5) = 576 - 320 = 256$ $x = \frac{24 \pm \sqrt{256}}{2(16)} = \frac{24 \pm 16}{32}$ دو جواب به دست می‌آید: $x_1 = \frac{40}{32} = 1.25$ (غیرقابل قبول چون احتمال نمی‌تواند بیش از ۱ باشد) و $x_2 = \frac{8}{32} = 0.25$. **گام چهارم: محاسبه احتمال قبولی رؤیا** احتمال قبولی رؤیا برابر با $2x$ بود: $P(A) = 2 \times 0.25 = \mathbf{0.5}$ پس رؤیا با احتمال **۵۰ درصد** در درس ریاضی قبول می‌شود.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۵۱ - تمرین ۶ این یک مسئله کلاسیک **احتمال شرطی** در فضای پرتاب دو تاس است. **گام اول: تعیین فضای نمونه‌ای جدید (شرط)** شرط مسئله این است که مجموع اعداد رو شده برابر ۸ باشد. پیشامد $B$ (مجموع برابر ۸) را می‌نویسیم: $B = \{(2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2)\} \Rightarrow n(B) = 5$ **گام دوم: تعیین پیشامد مطلوب در فضای شرطی** از بین حالت‌های بالا، مواردی را انتخاب می‌کنیم که هر دو عدد **زوج** باشند (پیشامد $A$): حالت‌های مطلوب: $\{(2,6), (4,4), (6,2)\} \Rightarrow n(A \cap B) = 3$ **گام سوم: محاسبه احتمال شرطی** طبق فرمول احتمال شرطی: $P(A|B) = \frac{n(A \cap B)}{n(B)} = \mathbf{\frac{3}{5}}$ بنابراین احتمال مورد نظر برابر با **۰/۶** یا **سه پنجم** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام ریاضی یازدهم صفحه ۱۵۱ - تمرین ۷ برای حل این مسئله به احتمال **اجتماع** نیاز داریم. اطلاعات داده شده به شرح زیر است: $P(A) = \frac{1}{5}$ $P(B) = \frac{1}{7}$ $P(B|A) = \frac{1}{4}$ (احتمال واکنش $B$ به شرط وقوع $A$) **گام اول: محاسبه احتمال اشتراک** از فرمول احتمال شرطی برای یافتن احتمال واکنش هر دو ماده استفاده می‌کنیم: $P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$ $P(A \cap B) = \frac{1}{5} \times \frac{1}{4} = \frac{1}{20}$ **گام دوم: محاسبه احتمال حداقل یکی (اجتماع)** فرمول کلی اجتماع: $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ $P(A \cup B) = \frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{20}$ برای جمع کسرها مخرج مشترک ۱۴۰ می‌گیریم: $P(A \cup B) = \frac{28}{140} + \frac{20}{140} - \frac{7}{140} = \frac{28 + 20 - 7}{140} = \mathbf{\frac{41}{140}}$ احتمال اینکه حداقل یکی از این دو ماده واکنش نشان دهد، **$\frac{41}{140}$** است.